Análise Prática do Atrito e Interação Superficial

Por Gabriel Wondracek, Ágata Tonet e Paulo Amarante — Física Experimental

#Objetivos

Medir os coeficientes de atrito estático e cinético entre a superfície de uma rampa e a superfície de um recipiente retangular com base de feltro.

#Introdução teórica

A primeira parte do primeiro experimento é referente a uma rampa a qual tinha instrumentos para medição de ângulo de inclinação e tamanho. Um objeto retangular com base de feltro foi disposto em uma das extremidades da rampa móvel, sendo assim a rampa foi inclinada até que o objeto começasse a deslizar, após o deslize, o objeto era colocado no início da rampa e então o ângulo era ajustado para que o objeto deslizasse novamente, assim o ciclo foi repetido 5 vezes para análise dos ângulos obtidos. Na segunda parte a rampa foi disposta em um dado ângulo anotado anteriormente, o objeto foi posicionado no início da mesma, assim foi deixado deslizar até bater no final da rampa e tal tempo foi cronometrado, após isso foi analisado a distância que o mesmo percorreu em dado tempo, o ciclo foi refeito cinco vezes, tomando o cuidado para a posição inicial do objeto ser sempre a mesma.

Antes da segunda parte, o objeto e um gancho adjunto a uma corda tiveram a massa medidas em uma balança, após esta etapa os itens foram fixados cada um em um respectivo lado da corda, adiante o objeto foi posicionado em uma rampa deslizante entretanto com um ângulo de inclinação de 0°, o qual continha uma polia em uma ponta, assim a corda foi posta nesta mesma polia e o gancho ficou suspenso, em seguida foi adicionado pesos com cuidado ao gancho, após o objeto sair do atrito estático e entrar em regime de atrito dinâmico, alguns pesos foram retirados, este processo se repetiu até termos uma faixa considerada decente entre o limiar do regime de atrito estático e dinâmico, importante considerar que durante este experimento o atrito da polia foi desconsiderado.

#Fundamentação Teórica e Modelo Físico

O sistema físico foi modelado utilizando fundamentos e simplificações frequentemente usados em Física I, baseado nas Leis de Newton e no atrito entre superfícies.

#Parte 1: Deslize Cronometrado em um Plano Inclinado

Força de Atrito

A força de atrito é uma força de contato entre superfícies que se opõe à tendência de movimento. Ela pode ser classificada em dois regimes:

1. Atrito Estático ($F_{at,e}$): Força de atrito que atua quando o objeto está em repouso ou na iminência de deslize, seu valor máximo é dado por:

$$F_{at,e}^{max}={\mu }_e\cdot N$$

Onde ${\mu }_e$ é o coeficiente de atrito estático e $N$ é a força normal exercida pela superfície.

2. Atrito Cinético / Dinâmico ($F_{at,d}$): Força de atrito atuante sobre um corpo que já está em movimento. Podemos calcular seu valor por:

$$F_{at,d}={\mu }_d\cdot N$$

Onde ${\mu }_d$ é o coeficiente de atrito dinâmico e $N$ é a força normal. O coeficiente de atrito dinâmico sempre será menor que o estático para um mesmo par de superfícies.

Ambos os coeficientes de atrito dependem da natureza e rugosidade das superfícies em contato, sendo praticamente independente da área de contato entre elas [4]. A comparação entre os valores obtidos feita nas Conclusões é justificada por essa propriedade: mesmo com os valores sendo obtidos por métodos diferentes, como ambos descrevem a mesma grandeza física, é esperado que cheguem em resultados próximos.

O cálculo da força de atrito é uma aproximação e assume premissas que não condizem totalmente com a realidade tribológica, especialmente no limiar de transição entre repouso e movimento [2, cap. 5, p. 117].

Decomposição das Forças no Plano Inclinado

Considerando um corpo de massa $m$ sobre uma rampa inclinada de ângulo $\theta$ com a horizontal, as forças atuantes são:

• Força Peso: $P=mg$, vertical para baixo;
• Força Normal: $N$, perpendicular à superfície do plano;
• Força de Atrito: $F_{at}$, paralela à superfície, oposta à tendência de movimento.

Decompondo o peso nas direções paralela e perpendicular ao plano:

$$P_x=mg\text{sen}(\theta )P_y=mg\cos (\theta )$$

A força normal, na ausência de outras forças verticais, equilibra a componente perpendicular:

$$N=mg\cos (\theta )$$

Já a força de atrito, no experimento, equilibra a componente do peso paralela à rampa, portanto:

$$F_{at}=mg\text{sen}(\theta )$$

Quando a inclinação da rampa aumenta, a componente paralela do peso ($P_x$) fica maior, enquanto a força normal exercida pela superfície ($N$) diminui. O objeto permanece em repouso enquanto a força de atrito ($F_{at}$) consegue anular os efeitos da parte paralela da força peso.

Na iminência do deslizamento, o ângulo ($\theta$) atinge um valor crítico ${\theta }_c$ e a força de atrito atinge seu maior valor. Pela Primeira Lei de Newton:

$$\begin{array}{c}{P}_x=F_{at,e}^{max}\\ \\ mg\text{sen}{\theta }_c={\mu }_e\cdot N\\ \\ mg\text{sen}{\theta }_c={\mu }_e\cdot mg\cos {\theta }_c\\ \\ {\mu }_e=\frac{\text{sen}{\theta }_c}{\cos {\theta }_c}=\tan {\theta }_c\end{array}$$

Pelo modelo assumido, fica determinado que o coeficiente de atrito estático depende da tangente do ângulo crítico de deslizamento.

Dinâmica do Deslizamento do Objeto e Coeficiente de Atrito Dinâmico

Ao romper o atrito estático, o corpo entra em movimento sob um ângulo constante $\theta$, a componente do peso paralela ao plano ($P_x$) se torna maior do que a força de atrito dinâmico, contrária ao deslize. Pela Segunda Lei de Newton, temos uma força resultante que causa uma aceleração $a$:

$$\begin{array}{c}{F}_{res}=m\cdot a\\ \\ P_x-F_{at,d}=m\cdot a\\ \\ mg\sin \theta -{\mu }_d\cdot N=m\cdot a\\ \\ mg\sin \theta -{\mu }_d\cdot mg\cos \theta =m\cdot a\\ \\ \text{Dividindo os termos por m:}\\ \\ a=g(\sin \theta -{\mu }_d\cos \theta )\end{array}$$

Modelo Cinemático

O corpo parte do repouso ($v_0=0$) de certa posição inicial até a colisão com a mesa percorrendo uma distância $\Delta S$, a aceleração teórica encontrada pode ser relacionada ao tempo cronometrado pela equação horária da posição:

$$\Delta S=v_{0}t+\frac{1}{2}a{t}^{2}a=\frac{2\Delta S}{t^2}$$

Relacionando a aceleração obtida pela dinâmica com a aceleração cinemática é possível calcular o coeficiente de atrito dinâmico (${\mu }_d$):

$$\begin{array}{c}\frac{2\Delta S}{t^2}=g(\text{sen}\theta -{\mu }_d\cos \theta )\\ \\ {\mu }_d\cos \theta =\text{sen}\theta -\frac{2\Delta S}{g{t}^2}\\ \\ {\mu }_d=\frac{\text{sen}\theta -\frac{2\Delta S}{g{t}^2}}{\cos \theta }\\ \\ {\mu }_d=\tan \theta -\frac{2\Delta S}{g{t}^2\cos \theta }\end{array}$$

Concluímos que o coeficiente de atrito dinâmico corresponde à inclinação geométrica da rampa diminuída de uma parcela proporcional à aceleração do corpo.

Substituindo a aceleração cinemática $a=\frac{2\Delta S}{t^2}$, a equação pode ser lida de forma simplificada por ${\mu }_d=\tan \theta -\frac{a}{g\cos \theta }$, dela decorre que:

• A massa ($m$) do corpo não integra a expressão final;
• Alta sensibilidade ao tempo experimental ($t^2$).

#Parte 2: Sistema Plano Inclinado, Polia e Massa Suspensa

Em contraste com o corpo livre na rampa da situação anterior, no segundo experimento temos um conjunto de massas ligadas por um fio através de uma polia, o objeto com base de feltro foi posicionado na rampa e o outro tratava-se de um gancho suspenso que permitia acréscimo e decréscimo de pesos padrão. A massa do fio foi combinada à massa do gancho. As equações de equilíbrio para o sistema são:

$$T=MgT=mg\text{sen}\theta +F_{at,e}^{max}=mg\text{sen}\theta +{\mu }_{e}mg\cos \theta$$

Igualando as duas equações encontramos o coeficiente de atrito estático:

$${\mu }_e=\frac{M-m\text{sen}\theta }{m\cos \theta }$$

#Incertezas, Tipo A, Tipo B e Propagação

As medições realizadas no experimento são acompanhadas de suas incertezas padrão, considerando as duas naturezas definidas como Tipo A e Tipo B: a avaliação Tipo A é associada à dispersão estatística de medições repetidas, enquanto a avaliação Tipo B é associada a efeitos sistemáticos relacionados ao instrumento de medição utilizado [3].

Para grandezas obtidas através de múltiplas medições diretas, como o ângulo crítico e o intervalo de tempo de deslize, a incerteza padrão combinada é dada pela equação:

$$u_c(y)=\sqrt{s^2+u_B^2}$$

Para grandezas obtidas de forma indireta, como os coeficientes de atrito estático e dinâmico, que são calculados a partir de outras grandezas medidas, deve-se aplicar a regra geral de propagação de incertezas, como disponível no Guia para a Expressão da Incerteza de Medição - GUM [1]:

$$u_c^2(y)=\sum _{i=1}^N{\left(\frac{\partial f}{\partial x_i}\right)}^2\cdot u^2(x_i)$$

A regra geral é válida sob a hipótese de que as grandezas de entrada $x_i$ são independentes entre si, uma hipótese razoável no experimento tendo em vista que as medições foram efetuadas por instrumentos e procedimentos distintos.

#Material utilizado

Parte 1: base de ferro; haste cilíndrica; rampa milimetrada; suporte conectando a haste à rampa; indicador de ângulo; obstáculo de fim de percurso; cronômetro; recipiente retangular com base de feltro.

Parte 2: rampa milimetrada; indicador de ângulo; obstáculo de fim de percurso; recipiente retangular com base de feltro; fio conectado a um gancho de plástico; kit de massas padrão; polia; suporte conectando rampa e polia.

#Procedimento Experimental

Parte 1.1: Ângulo Crítico de Deslize

O objeto foi posicionado sobre a rampa inclinada. A inclinação da rampa foi aumentada até que o objeto deslizasse a partir do repouso. Nessa primeira aproximação, adotou-se intencionalmente uma inclinação superior ao necessário para o deslize para se obter uma estimativa do ângulo crítico ${\theta }_C$ que foi registrado acompanhado da devida incerteza, $\theta =(27\pm 1)°$.

Após a primeira leitura, a inclinação da rampa foi reduzida até o objeto permanecer em repouso, sem tendência ao deslize. Posteriormente, a inclinação foi gradualmente aumentada, registrando-se o valor de ${\theta }_C$. Este ciclo de aproximação foi repetido cinco vezes, gerando uma coleção de ângulos críticos.

Parte 1.2: Cronometragem do Deslizamento

A rampa foi fixada no ângulo $\theta =28°$, valor mantido dentro do intervalo $\theta =(28\pm 1)°$ ao longo de toda a série de medições. Para cada repetição, a posição inicial do objeto sobre a rampa foi marcada e registrada, então o objeto foi liberado a partir do repouso. Cronometrou-se o intervalo de tempo $t$ decorrido entre a liberação e o impacto na base da rampa. Este procedimento foi repetido seis vezes, gerando o conjunto de medidas repetidas do intervalo de tempo do deslizamento do objeto.

Ao final da série de medições, a massa do objeto foi determinada em uma balança digital, obtendo-se, considerando a incerteza instrumental, $m=(85,02\pm 0,01)g$.

Parte 2: Deslizamento no Sistema com Polia

O objeto foi conectado por meio de um fio a um gancho de plástico suporte de massas. O fio foi direcionado por uma polia fixada na extremidade superior da rampa com $\theta =(5\pm 1)°$, de forma que a força de tração feita pelas massas suspensas atuasse sobre o recipiente paralelamente à superfície da rampa.

Massas foram adicionadas ao gancho suspenso gradualmente até que o objeto deslizasse. Como primeira tentativa foram realizados incrementos grandes para localizar um bom intervalo de massa pendurada crítica para o deslize, por meio desse procedimento, determinou-se o intervalo (40,02 - 45,02) g. Tomando como base o limite inferior do intervalo, adicionou-se ao gancho incrementos sucessivamente menores para refinar a estimativa da massa crítica de transição entre o regime estacionário e o deslizamento. O processo foi repetido seis vezes, resultando em seis intervalos de massa sucessivamente mais refinados.

#Apresentação dos Resultados

Massa medida do objeto $m=(85,02\pm 0,01)g$, incerteza Tipo B (resolução da balança digital).

Parte 1.1: Tabela de Dados Ângulo Crítico

Média (${\theta }_C$): 25,67° Desvio Padrão Amostral ($s$): 1,033° Incerteza Tipo A: 0,422° Incerteza Tipo B (resolução do inclinômetro): 1° Incerteza Combinada: 1,08° Resultado: 25,67° ± 1,08°

Parte 1.1: Coeficiente de Atrito Estático

$${\mu }_e=\tan {\theta }_c=\tan (25,67°)\approx 0,4806u_c({\mu }_e)=0,0232$$ $${\mu }_e=0,481\pm 0,023$$

Parte 1.2: Tabela de Dados - Deslocamento e Tempo

Obs: Incerteza Tipo B do Deslocamento refere-se a uma incerteza combinada de cada leitura (posição inicial e final) na régua.

Parte 1.2: Coeficiente de Atrito Cinético

$${\mu }_d=\tan {\theta }_c-\frac{2\Delta S}{g{t}^2\cos {\theta }_c}=\tan 28°-\frac{2(0,3195)}{9,79(0,632{)}^2\cos 28°}\approx 0,347$$ $${\mu }_d=0,347\pm 0,120$$

Parte 2: Tabela de Dados - Deslizamento no Sistema com Polia

Média: 43,52 g Desvio Padrão Amostral ($s$): 1,3134 Incerteza Tipo A: 0,5362 Incerteza Tipo B (resolução balança): 0,01 Incerteza Tipo B (conjunto de pesos): 0,5 Incerteza Combinada: 0,7332 Resultado: 43,52 ± 0,73

Parte 2: Coeficiente de Atrito Estático

$${\mu }_e=\frac{M-m\text{sen}\theta }{m\cos \theta }=\frac{43,52-85,02\text{sen}5°}{85,02\cos 5°}\approx 0,426$$ $${\mu }_e=0,426\pm 0,019$$

#Conclusões

A partir da realização das duas principais partes do experimento, foi possível estimar os coeficientes de atrito estático e cinético em cada situação. Os valores de ${\mu }_e$ de cada experimento apresentaram boa concordância (${\mu }_e=0,481\pm 0,023$ na Parte 1 e ${\mu }_e=0,426\pm 0,019$ na Parte 2), enquanto o coeficiente cinético apresentou valor inferior que ambos (${\mu }_d=0,347\pm 0,120$), comprova que o objeto possui um comportamento compatível com atritos antes do início do movimento e durante o deslizamento.

As incertezas obtidas foram significativamente diferentes entre os métodos. Essa diferença está relacionada principalmente às grandezas utilizadas em cada cálculo e à forma como suas incertezas são propagadas. Para os coeficientes de atrito estático, a incerteza foi de apenas (0,023), mostrando uma boa precisão, enquanto a incerteza para o coeficiente cinético foi cerca de seis vezes superior (0,120). As principais fontes de incerteza foram os valores estabelecidos por resolução ou informações direto do fabricante, que seriam incertezas Tipo B, o qual não é possível ter muito controle, além de tentar mudar de instrumento ou modo de medir.

#Bibliografia

[1] INMETRO. Avaliação de dados de medição: Guia para a expressão de incerteza de medição – GUM 2008. Duque de Caxias, RJ: Inmetro, 2012. 141 p.

[2] NUSSENZVEIG, H. Moysés. Curso de física básica, volume 1: mecânica. 5. ed. São Paulo: Blucher, 2013.

[3] UNIVERSIDADE FEDERAL DE SÃO CARLOS. Centro de Ciências Exatas e de Tecnologia. Departamento de Física. Avaliação e representação de medições e de suas incertezas. São Carlos: UFSCAR.

[4] CAMPOS, Agostinho Aurélio; ALVES, Elmo Salomão; SPEZIALI, Nivaldo Lúcio. Física experimental básica na universidade. Belo Horizonte: Universidade Federal de Minas Gerais, Departamento de Física, 2018.

#Apêndice 1: Média e Incerteza do Ângulo Crítico

Tratamento estatístico dos dados obtidos no processo de determinação do ângulo crítico de deslize ${\theta }_c$ envolve $n=6$ repetições.

Média amostral:

$${\bar{\theta }}_C=\frac{1}{n}\sum _{k=1}^n{\theta }_{c,k}$$

Desvio padrão amostral:

$$s=\sqrt{\frac{1}{n-1}\sum _{k=1}^n({\theta }_{c,k}-{\bar{\theta }}_C{)}^2}$$

Incerteza Tipo A:

$$u_A({\theta }_C)=\frac{s}{\sqrt{n}}$$

Incerteza Padrão Combinada:

$$u_C({\theta }_C)=\sqrt{u_A^2({\theta }_C)+u_B^2({\theta }_C)}$$

Cálculos da Média, Variância e Incerteza dos Dados Obtidos:

$${\bar{\theta }}_C=\frac{27°+24°+26°+25°+26°+26°}{6}=\frac{154°}{6}\approx 25,667°$$ $$s=\sqrt{\frac{5,3334}{5}}\approx 1,0328°$$ $$u_A({\theta }_C)=\frac{s}{\sqrt{6}}=\frac{1,0328}{\sqrt{6}}\approx 0,4216°$$

Incerteza combinada $u_C$ considerando $u_B({\theta }_C)=1,00°$ (estimativa Tipo B de resolução instrumental):

$$u_C({\theta }_C)=\sqrt{u_A^2({\theta }_C)+u_B^2({\theta }_C)}=\sqrt{0,4216^2+1^2}\approx 1,0846°$$

#Apêndice 2: Propagação de Incerteza para ${\mu }_e$

Formalização do cálculo do coeficiente de atrito estático e sua respectiva propagação de incerteza a partir do ângulo crítico. No plano inclinado, a iminência de movimento de um objeto de massa $m$ implica:

$$F_{at,max}={\mu }_e\cdot N=P_x$$ $${\mu }_e\cdot m\cdot g\cdot \cos ({\theta }_C)=m\cdot g\cdot \text{sen}({\theta }_C)$$ $${\mu }_e=\frac{\text{sen}({\theta }_C)}{\cos ({\theta }_C)}=\tan ({\theta }_C)$$

Fazendo ${\theta }_C=25,67°$:

$${\mu }_e=\tan (25,667°)\approx 0,4806$$

Aplicando a lei de propagação de incertezas para um modelo com uma variável de entrada $y=f(x)$, a incerteza combinada é dada por:

$$u_C({\mu }_e)=\left|\frac{\partial f}{\partial \theta }\right|\cdot u(\theta )$$

Determinando a derivada e montando a equação para a propagação da incerteza padrão combinada:

$$\frac{\partial {\mu }_e}{\partial \theta }=\frac{d}{d\theta }(\tan \theta )={\sec }^2(\theta )=\frac{1}{{\cos }^2\theta }$$ $$u_c({\mu }_e)=\frac{1}{{\cos }^2\theta }\cdot u(\theta )$$

Aplicando os valores obtidos pela média e incerteza combinada do ângulo ${\theta }_C=25,67°$, $u_c(\theta )=1,0846°$; dado que a derivada foi calculada analiticamente, é necessário converter $u_c(\theta )$ para radianos:

$$u_c(\theta {)}_{rad}=1,0846°\cdot \frac{\pi }{180°}=0,01893rad$$ $$\frac{1}{{\cos }^2(25,67°)}=\frac{1}{0,81237}=1,2310ra{d}^{-1}$$ $$u_c({\mu }_e)=\frac{1}{{\cos }^2\theta }\cdot u(\theta )=1,2310ra{d}^{-1}\cdot 0,01893rad=0,0233$$

#Apêndice 3: Tratamento Estatístico para a Parte 1.2

Tratamento dos dados obtidos na Parte 1.2 do ensaio: determinação do deslocamento e tempo de descida do objeto em deslize para o cálculo do coeficiente de atrito cinético.

Média aritmética:

$$\bar{x}=\frac{1}{n}\sum _{k=1}^n{x}_k$$

Desvio padrão amostral:

$$s=\sqrt{\frac{1}{n-1}\sum _{k=1}^n(x_k-\bar{x}{)}^2}$$

Incerteza Tipo A:

$$u_A=\frac{s}{\sqrt{n}}$$

Incerteza Tipo B:

$$u_B=0,10cm$$

Deslocamento $\Delta S=x_f-x_i$ é resultado da diferença entre duas leituras independentes na mesma régua, combinamos suas incertezas:

$$u_B(\Delta S)=\sqrt{u_B^2(x_i)+u_B^2(x_f)}=\sqrt{0,10^2+0,10^2}=\sqrt{0,0200}\approx 0,1414$$

A incerteza oriunda da cronometragem do tempo foi considerada como sendo a variabilidade do tempo de reação motora do operador, fixada em $u_B(t)=0,20s$.

Incerteza Padrão Combinada:

$$u_C(y)=\sqrt{u_A^2+u_B^2}$$

Cálculos: Posição Inicial, Final, Deslocamento, Tempo e suas Incertezas

A posição inicial de liberação do objeto foi mantida constante em $x_i=64,3cm$. Portanto, desconsideramos a incerteza Tipo A, tendo como resultado final: $(64,30\pm 0,10)cm$.

Conjunto de valores medidos da posição final do objeto: $\{95,9;96,2;96,3;96,4;96,4;96,3\}cm$

$${\bar{x}}_f=\frac{95,9+96,2+96,3+96,4+96,4+96,3}{6}=96,25cm$$ $$\sum _{k=1}^6(x_{f,k}-{\bar{x}}_f{)}^2=0,1750c{m}^2$$ $$s=\sqrt{\frac{0,1750}{5}}=0,187cm$$

Incerteza Tipo A de $x_f$:

$$u_A=\frac{s}{\sqrt{6}}=\frac{0,187}{\sqrt{6}}=0,0764\approx 0,076$$

Incerteza Combinada, com $u_B(x_f)=0,10cm$:

$$u_c(x_f)=\sqrt{0,076^2+0,10^2}=0,126cm$$

#Apêndice 4: Média e Incerteza da Massa Crítica Pendurada para a Parte 2

Tratamento estatístico dos dados obtidos no processo de determinação da massa crítica pendurada para o deslize do objeto, com inclinação de $\theta =5°\pm 1°$, envolvendo $n=6$ repetições.

Valor médio do intervalo (utilizado para obter a média amostral):

$$M_k=\frac{M_i+M_f}{2}$$

Média amostral:

$${\bar{M}}_C=\frac{1}{n}\sum _{k=1}^n{M}_k$$

Desvio padrão amostral:

$$s=\sqrt{\frac{1}{n-1}\sum _{k=1}^n(M_k-{\bar{M}}_C{)}^2}$$

Incerteza Tipo A:

$$u_A(M_C)=\frac{s}{\sqrt{n}}$$

Incerteza Padrão Combinada:

$$u_C(M_C)=\sqrt{u_A^2(M_C)+u_{B1}^2(m)+u_{B2}^2(m)}$$

Cálculos da Média, Variância e Incerteza dos Dados Obtidos:

$${\bar{M}}_C=\frac{42,52+41,52+44,02+44,02+45,27+43,77}{6}=\frac{261,12}{6}=43,52g$$ $$s=\sqrt{\frac{8,625}{5}}\approx 1,3134$$ $$u_A(M_C)=\frac{s}{\sqrt{6}}=\frac{1,3134}{\sqrt{6}}\approx 0,5362g$$

Incerteza combinada $u_C$ considerando $u_{B1}(m)=0,01$ (estimativa Tipo B de resolução instrumental da balança digital) e $u_{B2}(m)=0,5$ (estimativa Tipo B da especificação técnica dos conjuntos de pesos):

$$u_C(M_C)=\sqrt{u_A^2(M_C)+u_{B1}^2(m)+u_{B2}^2(m)}=\sqrt{0,5362^2+0,01^2+0,5^2}\approx 0,7332$$

#Apêndice 5: Propagação de Incerteza para ${\mu }_e$ para a Parte 2

Formalização do cálculo do coeficiente de atrito estático e sua respectiva propagação de incerteza a partir da massa crítica e do ângulo de inclinação. No sistema de massa pendurada e polia, a iminência de movimento de um objeto de massa crítica $m$ implica:

$${\mu }_e=\frac{M-m\text{sen}\theta }{m\cos \theta }$$

Fazendo $\theta =5°$, $M_C=43,52g$ e $m=85,02g$:

$${\mu }_e=\frac{M-m\text{sen}\theta }{m\cos \theta }=\frac{43,52-85,02\text{sen}5°}{85,02\cos 5°}\approx 0,4262$$

Aplicando a lei de propagação de incertezas para um modelo com uma variável de entrada $y=f(x)$, a incerteza combinada é dada por:

$$u({\mu }_e)=\sqrt{{\left(\frac{\partial {\mu }_e}{\partial m}u(m)\right)}^2+{\left(\frac{\partial {\mu }_e}{\partial M}u(M)\right)}^2+{\left(\frac{\partial {\mu }_e}{\partial \theta }u(\theta )\right)}^2}$$

Substituindo as derivadas e os valores na fórmula:

$$u({\mu }_e)=\sqrt{{\left(\frac{1}{85,02\cos 5°}(0,7332)\right)}^2+{\left(\frac{43,52}{(85,02{)}^2\cos 5°}(0,01)\right)}^2+{\left(-{\sec }^2(5°)(0,0174533)\right)}^2}$$

Obtemos que:

$$u({\mu }_e)=\sqrt{(0,08973{)}^2+(0,000649{)}^2+(0,016774{)}^2}\approx 0,019023$$